Um die charakteristische Breite für Quantisierungseffekte im Kanal des HEMT-Transistors abzuschätzen, kann man eine einfache Überschlagsrechnung an einem eindimensionalen Modell durchführen.
Die Schrödinger-Gleichung für das eindimensionale Quantisierungsproblem lautet [2]:
wobei 
die eindimensionale Koordinate ist, in der die Zustände
quantisiert sind, 
die effektive Masse der Elektronen des
betrachteten Tals in der Quantisierungsrichtung ist, 
die
reduzierte Planck-Konstante, 
die potentielle Energie
(elektrostatisches Potential plus Bandkantenoffset) der Elektronen des
betrachteten Tals, 
die 
-te Wellenfunktion und
deren Energie-Eigenwert.
Die Wellenfunktionen, die sich aus dieser Gleichung ergeben, sind bis auf einen konstanten Faktor bestimmt; dieser wird aus folgender Normierungsvorschrift bestimmt:
Als einfaches Modell für den Potentialwall auf jeder Seite des Kanals
kann man ein Kastenpotential laut Bild A.1 annehmen, dessen
Boden sich auf der Energie 0 befindet, das die Länge 
hat und von
zwei unendlich hohen Potentialwällen begrenzt wird.
Indem man die Länge des Kastenpotentials immer größer werden
läßt, erhält man eine Beschreibung der Auswirkungen der
Potentialbarriere bei 
.
Als Lösungen dieser Differentialgleichung ergeben sich zwischen den
Koordinaten 0 und sinusförmige Wellenfunktionen, die außerhalb
dieses Bereichs mit Null fortzusetzen sind. Mit der Normierung erhält
man die folgenden Wellenfunktionen und Energieeigenwerte:
In den anderen beiden Dimensionen, die hier mit 
und 
bezeichnet
werden, nimmt man freie Beweglichkeit der Elektronen an.
Man erhält eine zweidimensionale Zustandsdichte, über die mit der
Fermi-Statistik integriert werden kann. Als Besetzungszahl des -ten
Energieniveaus ergibt sich [2]:
wobei 
die Vielfachheit (der Entartungsgrad) des entsprechenden
Tales ist, 
die geeignet bestimmte effektive Masse in der
/-Richtung, 
die Trägertemperatur und 
die Fermienergie
der Träger. Falls das Ferminiveau um mehrere Temperaturspannungen
unter dem Boden 
des Kastenpotentials liegt, kann man
statt der Fermi-Statistik die wesentlich einfachere
Boltzmann-Statistik verwenden und erhält:
Die gesamte Elektronenkonzentration ergibt sich als Summe über alle Wahrscheinlichkeitsdichten der Wellenfunktionen, gewichtet mit den jeweiligen Besetzungszahlen der Zustände:
Um den Ausdruck einfach darstellen zu können, verwendet man die Abkürzung
für die DEBROGLIE-Wellenlänge des thermischen Elektrons (eines Elektrons, das sich mit der mittleren thermischen Geschwindigkeit bewegt):
Mit der Abkürzung 
und mit
als klassischer dreidimensionaler Zustandsdichte, wobei 
über
definiert wurde, erhält man für die Elektronenkonzentration den folgenden Ausdruck:
Der Summenausdruck ist eine äquidistante Riemannsche Zerlegung [15] des Integrals
in das er durch den Grenzübergang 
übergeht.
Dieses Integral ergibt nach [8] die folgende Lösung:
und damit erhält man für die Elektronenkonzentration die folgende Formel:
Die charakteristische Länge 
, mit der die
Gaußfunktion in Gleichung (A.15) abklingt, ergibt für
Galliumarsenid mit 
und 
etwa 4.7 nm.
Das ist zwar noch unter der Kanalbreite des betrachteten HEMTs (diese ist 12 nm), aber der Abstand ist nicht mehr sehr groß. Versuche mit einem numerischen Schrödinger-Gleichungslöser [10][P5], der unter anderem zur Kapazitätsberechnung von HEMTs eingesetzt wurde, haben gezeigt, daß es auch dann noch möglich ist, die Elektronenkonzentration klassisch (eventuell mit Korrekturfaktoren) zu berechnen, wenn die Separation der Eigenenergien in der Größenordnung einer Temperaturspannung liegt. Trotzdem wäre es wünschenswert, mit geeigneten Abänderungen der klassischen Formeln die Quantisierungseffekte in der Rechnung zu berücksichtigen.
Die Realität weicht von dem Modell des unendlich hohen Potentialsprungs zwar ab, doch die numerische Rechnung hat gezeigt, daß endliche Barrierenhöhen, solange sie deutlich über den entsprechenden Eigenenergien liegen, praktisch zu keinen Unterschieden der Elektronenverteilung führen.
