8.2 Größen, Variablen und das Gleichungssystem



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8.2 Größen, Variablen und das Gleichungssystem

Bei der Segmentsanalyse (Abschnitt 7.1) werden für jedes Segment der Eingabegeometrie verschiedene physikalische Größen definiert. Dabei kann man zwischen Grundgrößen und abgeleiteten Größen unterscheiden. Die Grundgrößen sind jene, die aus den Halbleitergleichungen ermittelt werden; abgeleitete Größen können aus ihnen mit Hilfsfunktionen ermittelt werden.

Für die Gleichungsassemblierung sind nur die Grundgrößen interessant. Diese setzen sich aus den Variablen zusammen. Dabei bezeichnet der Ausdruck ,,Größe`` die Gesamtheit aller diskretisierten Werte auf den Gitterpunkten, der Ausdruck ,,Variable`` steht für einen Einzelwert an einem Gitterpunkt.

Es gibt auch konzentrierte Größen, die nicht diskretisiert sind, sondern nur aus einer einzigen Variablen bestehen. Ein Beispiel dafür sind die im Kapitel 7 besprochenen Kontaktgrößen, die an jedem Kontakt definiert sind und die aus je einer Variable bestehen. Dagegen ist für Isolatormaterialien nur eine einzige Größe definiert, das elektrostatische Potential, und diese ist in viele Variablen an den Gitterpunkten diskretisiert. Bei Halbleitersegmenten kommen zum Potential noch die Konzentrationen der Ladungsträger und im Fall einer hydrodynamischen Rechnung auch deren Temperaturen. Die mögliche Komplexität wird vielleicht dadurch veranschaulicht, daß der Ringoszillator mit neun Inverterstufen (18 MOS-Transistoren), der in Kapitel 10 vorgestellt wird, zu 819 verschiedenen Grundgrößen führt, davon allerdings nur 54 in den Halbleitersegmenten und 18 in den Gateoxiden, der Rest setzt sich aus Kontaktgrößen zusammen, deren jede nur eine einzige Variable hat.

Beim Zusammenbau des Gleichungssystems werden für jede Größe, die darin enthalten sein soll, soviele Gleichungen angelegt, wie sie Variablen enthält.

Das Gleichungssystem hat die Gestalt

 

wobei die Systemmatrix ist, der Lösungsvektor, der nach dem Lösen die Änderungen der Variablen der einzelnen Größen enthält, und der Vektor der rechten Seite.

Jede Zeile der Matrix stellt eine linearisierte Gleichung für das Inkrement einer Variablen dar. Die Zeile ist als Gleichung zu einer Variablen in einer Box aufzufassen, und die Boxvariable steht in der entsprechenden Zeile des Vektors . Parallel zum Vektor enthält der Vektor die Werte der Gesamtkontrollfunktionen für die einzelnen Variablen. Die Matrix besteht aus den negativen Ableitungen dieser Gesamtkontrollfunktionen nach den einzelnen Variablen der Grundgrößen. Wie man aus den Kontrollfunktionen, die in Kapitel 3 definiert wurden, zu den Gesamtkontrollfunktionen kommt, wird im folgenden Abschnitt beschrieben.



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Martin Stiftinger
Fri Oct 21 18:22:52 MET 1994